Уроженец Алтайского края Андрей Клюзов начинал политическую карьеру на должности консультанта аналитического управления краевой администрации. В 2010 году стал руководителем исполкома краевого отделения "Единой России". Но в регионе надолго не задержался – через два году Клюзов переезжает в Москву, чтобы возглавить департамент избирательных технологий центрального исполкома ЕР.
В 2015 году партийный политтехнолог курировал выборы в Совет депутатов Новосибирска и Заксобрание Новосибирской области. А через год, в ходе выборов депутатов Государственной Дума он отвечал уже за итоги голосования в регионах Сибирского федерального округа. Через некоторое время Клюзов возвращается к руководству исполкомом "Единой России" в Алтайском крае.
Это должность он покинул в 2018 году, после победы Виктора Томенко на губернаторских выборах. В 2019 году функционер перемещается в соседнюю Республику Алтай, где на фоне губернаторской избирательной кампании возглавляет исполком местного отделения "Единой России". Осенью того же года выборы выигрывает Олег Хорохордин.
1 ноября, менее, чем за год до губернаторских выборов, глава Новосибирской области Андрей Травников объявил о назначении Андрея Клюзова на должность министра региональной политики. Также губернатор сообщил о судьбе бывшего министра Игоря Яковлева.